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《達文西密碼》之「斐波那契數列」與「黃金分割」


Da Vinci Code
《達芬奇密碼》多次提及黃金分割。圖片來自 Da Vinci Code Research Guide

在《達文西密碼》中,羅浮宮館長索尼埃臨死前在地上寫了以下的字:

13-3-2-21-1-1-8-5
O,Draconiand evil!(啊,严酷的魔王!)
Oh,Lame Saint!(噢,瘸腿的圣徒!)

– 《達芬奇密碼》第八章

後來蘭登從第一行數字得到靈感,重排第二行和第三行的字母,得出:

Leonardo da Vinci!(列昂纳多·达·芬奇!)
The Mona Lisa!(蒙娜丽莎!)

– 《達芬奇密碼》第二十章

如小說所言,第一行那堆數字,取自「斐波那契數列」(Fibonacci number)。Fibonacci 是十三世紀的意大利數學家,又名 Leonardo of Pisa,跟達文西 Leonardo da Vinci 同名,不過一個來自 Pisa,一個來自 Vinci 罷了。關於以地名作為名字,可以參看舊文《達文西姓甚麼?》。

「斐波那契數列」是一組「非負整數」的數列,由 0 與 1 開始,之後每個數都等於前兩數之和。順序排列的最初廿二個數是:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, …

斐波那契數列跟「黃金分割」(Golden ratio)有關。黃金分割的定義很簡單,請看以下從 Wikipedia 取來的圖:

Golden_ratio_line

如上圖,數字 a 與 b 代表兩個線段的長度,其中 (a+b)/a 等於 a/b,我們便說 a:b 是黃金分割。這黃金分割是個無單位的常數,通常以希臘字母φ(拉丁寫法是 phi)來表示,是個無理數 (irrational number)。利用簡單的代數,求解一條一元二次方程(quadratic equation)之後,很容易便算出φ的值:

7fde05fc26b36014c3380d8f6b36ed79

如果 a 與 b 分別為長方形兩條邊的長度,這便是一個 Golden rectangle。信用卡和八達通之類都是大約的 Golden rectangle(不過也僅是大約而已),不信的話可以自己量度一下。

800px-OctopusFrontNew

在《達文西密碼》一書的第二十章,花了很多篇幅介紹黃金分割,我在舊文《藝術與大自然中的黃金分割》中有引述。其中以下段落點出斐波那契數列與黃金分割的關係:

兰登在幻灯机上放上图片,解释说,PHI源于斐波那契数列——这个数列之所以非常有名,不仅是因为数列中相邻两项之和等于后一项,而且因为相邻两项相除所得的商竟然约等于1.618,也就是PHI。

– 《達芬奇密碼》第二十章

在斐波那契數列中,取任何兩個相鄰的數,以大除以小,其結果會趨向φ〔証明〕。例如 3/2=1.5000, 5/3=1.6667, 8/5=1.6000, 13/8=1.625, 21/13=1.615, 34/21=1.6190, 55/34=1.6176, … 越往後便越接近φ,自己除一除就知道了。

「黃金分割」還有其它有趣數學特性。文章開首的圖片,展示了一個 Golden rectangle,在 Golden rectangle 上的曲線名為 Golden spiral

300px-FakeRealLogSpiral

小說裡提到的五角星 (pentagram),其實也暗藏黃金分割:

Pentagram2

關於五角星與黃金分割的關係,除了 Wikipedia 的五角星 (pentagram)條目外,也可以參考 The Pentagram & The Golden RatioPHI: The Divine Ratio 兩篇文章。

小說中也提到五角星符號的象徵意義,可供玩味。不過若要當真的話,最好先上網查找資料作驗証:

  “索尼埃在自己肚子上画了女神符号?”

兰登必须承认,这似乎有点怪。“最具体的解释,五角星象征维纳斯 —— 代表女人性爱和美的女神。”

法希看了看那裸休男人,咕哝了一声。

“早期宗教都是基于大自然神性的秩序之上的,女神维纳斯(Venus)和金星(Venus)是同一的。女神在夜空中也有一席之地,夜空中的女神有许多名字 —— 金星、东方之星、伊师塔、阿斯塔蒂等,都是些充满活力的与自然和大地母亲密切相关的阴性概念。”

– 《達芬奇密碼》第六章

黃金分割φ也是個被「神化」了的數,在英文裡又名 “divine ratio",就是「神聖的比例」之意。《達文西密碼》也有提到這一點:

  兰登继续解释道,从数学角度看,PHI的来源颇为神秘,但更令人费解的是它在自然界的构成中也起着极为重要的作用。植物、动物甚至人类都具有与这个比率惊人相似的特质。

兰登关上教室里的灯,说道:“PHI在自然界中无处不在,这显然不是巧合,所以祖先们估计PHI是造物主事先定下的。早期的科学家把1.618称为黄金分割。”

……
从一开始,黄金分割的神秘特质就已经被确定了。人们只能按自然规则活动,而艺术又是人们试图模仿造物主创造之美的一种尝试,所以这学期我们将在艺术作品中看到许多黄金分割的实例。

– 《達芬奇密碼》第二十章

黃金分割之所以被神化,可能源於一些美麗的誤會。例如,雅典的巴特農神殿 (Parthenon) 據稱使用了黃金分割。從照片而言是沒錯,但只要精確度之要求不高,我們總能在任何一組建築中找到接近黃金分割的長方形,況且沒有証據顯示當時的人有意把黃金分割考慮進去。另外有人提到大自然中也有黃金分割,例如鸚鵡螺的螺旋形,據稱是個 Golden spiral,這些都是在近似意義上說的。以下文章有談及這方面的誤解:

不過,由於這個誤解,有些藝術家會以黃金分割來作構圖。從藝術和大自然中找尋隱藏黃金分割或近似黃金分割的比例,無疑是一件很有趣的事情。有些人甚至嘗試從人體上找尋黃金分割,並稱美貌與否跟黃金分割有關,台灣就有所謂「九頭身美女」的說法。這不是甚麼九頭妖怪,也跟九尾狐無關,而是說美女的臉形與身形都有些地方符合黃金比例。當然,信不信由你。

最後也提一提達文西的另一幅著名作品(也是我十分喜歡的一幅)《維特魯威人》(Vitruvian Man)

426px-Vitruvian

《達文西密碼》說這幅作品顯示人體與黃金分割的關係:

  “不错,可这和艺术有什么关系呢?”另外一个人说。

“啊!问得好。” 兰登说着,放出另一张幻灯片——列昂纳多·达·芬奇的著名男性裸体画《维特鲁威人》。这幅画画在一张羊皮纸上,羊皮纸已微微泛黄。画名是根据罗马杰出的建筑家马克·维特鲁威的名字而取的,这位建筑家曾在他的著作《建筑》中盛赞黄金分割。

“没有人比达·芬奇更了解人体的精妙结构。实际上,达·芬奇曾挖掘出人的尸体来测量人体骨骼结构的确切比例,他是宣称人体的结构比例完全符合黄金分割率的第一人。”

……

“不仅是你们几个开始坐不住的运动员,” 兰登提示道。“你们所有人,男生和女生,试试看。测量一下你们的身高,再用身高除以你们肚脐到地面的距离。猜一猜结果是多少。”

“不会是PHI吧!”一名体育生用怀疑的口吻说。

“就是PHI,” 兰登回答道。“正是1.618。想再看一个例子吗?量一下你肩膀到指尖的距离,然后用它除以肘关节到指尖的距离,又得到了PHI。用臀部到地面的距离除以膝盖到地面的距离,又可以得到PHI。再看看手指关节、脚趾、脊柱的分节,你都可以从中得到PHI。朋友们,我们每个人都是离不开黄金分割的生物。”

– 《達芬奇密碼》第二十章

其實達文西在這幅作品中,確實嘗試研究人體中的各種比例,卻沒有說過那是黃金比例。《維特魯威人》主要是畫出了古羅馬建築師 Marcus Vitruvius Pollio 在其著作 De Architectura 的描述:

The navel is naturally placed in the centre of the human body, and, if in a man lying with his face upward, and his hands and feet extended, from his navel as the centre, a circle be described, it will touch his fingers and toes. It is not alone by a circle, that the human body is thus circumscribed, as may be seen by placing it within a square. For measuring from the feet to the crown of the head, and then across the arms fully extended, we find the latter measure equal to the former; so that lines at right angles to each other, enclosing the figure, will form a square. – Vitruvius, De Architectura 3.1.3

現實中的人體當然不會個個比例相同,我的學生在專題報告裡就找同學做過量度,不過《維特魯威人》總能作為一個參考樣辦。Wikipedia 的 Vitruvian Man 條目對這些比例有十分精彩的說明。

3 thoughts on “《達文西密碼》之「斐波那契數列」與「黃金分割」

  1. 我本身是物理學專業。而我所教的科目則比較雜,包括數學、科學、電腦、資訊素養等,以前也教科學計算。

    多謝你推介一系列的文章,看來你也在中國哲學方面也很有研究。😀

  2. 看來在您的專業領域裡,我有很多可以跟您請益的的地方,也希望您不嫌我煩…呵呵。

    我啊,對哲學有興趣是"久病成良醫",而且,雜而不精。

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